Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}（x＞0）}\\{{x}^{3}+4（x≤0）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x²）=a（a∈R）有四個不同的實根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，4）
• D． （4，7）

Answer 1

分析 令t=x²，則t≥0，函數(shù)f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{4}{t}，t＞0}\\{{t}^{3}+4，t≤0}\end{array}\right.$，由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a有4個不同的交點，且每個t值有2個x值與之對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答 解：令t=x²，則t≥0，
函數(shù)f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{4}{t}，t＞0}\\{{t}^{3}+4，t≤0}\end{array}\right.$．
由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a有2個不同的交點，
且每個t值有2個x值與之對應(yīng)，如圖所示：
由于當t=2時，f（t）=4，
當a＞4時，有兩個t值，即有4個不同的實根．
故選A．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．