Question

在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，O為坐標(biāo)原點，A為右頂點，F(xiàn)為右焦點，過F作MN∥y軸，交橢圓于M，N兩點，若|MN|=3，橢圓的離心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求橢圓的方程；
（2）若此橢圓的長軸不變，當(dāng)以O(shè)A為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓上時，求橢圓短半軸長b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，易得

c a = 1 2 2b2 a =3

，從而可求幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出橢圓方程及P的坐標(biāo)，利用以O(shè)A為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得，

c a = 1 2 2b2 a =3

，∴a=2，c=1，b=

3

故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），則令P（2cosα，bsinα）（0＜cosα＜1）
∵以O(shè)A為斜邊的直角三角形的直角頂點P落在橢圓
∴

bsinα

2cosα

×

bsinα

2cosα-2

=-1
∴令t=cosα（0＜t＜1），則b2=

t-t2

1-t2

=

t

1+t

1-

1

1+t

∵0＜t＜1，∴0＜b2＜

1

2

∵b＞0，∴0＜b＜

2

2

點評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，有一定的綜合性．