Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

x²+ax+

a

2

，
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≥

7

4

；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)|x|≤2，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求出g（a）的解析式，并求出關(guān)于a的方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1在（-1，1）上有兩個不等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）≥

7

4

可化為

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，從而解得；
（2）由函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)可知對稱軸在-4的右側(cè)，從而解得；
（3）討論對稱軸的位置，從而求f（x）的最小值為g（a），g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化為-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）≥

7

4

可化為

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，
解得，x≥1或x≤-5；
（2）∵函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，
∴-

a

2× 1 4

≥-4，
解得，a≤2；
（3）①當(dāng)-

a

2× 1 4

≤-2，即a≥1時，
f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
故g（a）=f（-2）=1-2a+

a

2

=-

3

2

a+1；
②當(dāng)-

a

2× 1 4

≥2，即a≤-1時，
f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
故g（a）=f（2）=1+2a+

a

2

=

5

2

a+1；
③當(dāng)-2＜-

a

2× 1 4

＜2，即-1＜a＜1時，
g（a）=f（-2a）=-a²+

a

2

；
故g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化為
-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，
即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，
∵-1＜a＜1，
∴-

3

2

＜m≤

3

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)與二次方程及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．