Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足：①f（2）=0，②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸x=1在區(qū)間[t，t+3]的左邊？右邊？在區(qū)間[t，t+3]上？求出f（x）在[t，t+3]上的最大值．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足：①f（2）=0，②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
∴

4a+2b=0 (b-1)2=0

，
解得b=1，a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）二次函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+x的對(duì)稱軸是x=1，
當(dāng)t≤-2時(shí)，f（x）在[t，t+3]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（t+3）=-

(t+3)(t+1)

2

；
當(dāng)-2＜t≤1時(shí)，f（x）_max=f（1）=

1

2

；
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[t，t+3]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（t）=

t(2-t)

2

；
綜上所述，t≤-2時(shí)，f（x）_max=-

(t+3)(t+1)

2

；
-2＜t≤1時(shí)，f（x）_max=f（1）=

1

2

；
t＞1時(shí)，f（x）_max=

t(2-t)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)的解析式以及求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是易錯(cuò)題．