Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對(duì)任意的n∈N⁺，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+2

}的前n項(xiàng)和為S_n，不等式S_n＞

1

3

log_a^（1-a）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意知，a₁³+a₂³+…+a_n³+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，與已知關(guān)系式a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²相減，可求得an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，同理可得a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，繼而可判斷數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）由（1）知a_n=n，利用裂項(xiàng)法可求

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），從而可求得S_n=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

），由S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，可判斷數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
則有a₁³+a₂³+…+a_n³+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，
∴an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同樣有an2=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，即當(dāng)n≥1時(shí)都有a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）由（1）知a_n=n，則

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴S_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

an-1an+1

+

1

anan+2

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∵S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，
∴（S_n）_min=S₁=

1

3

．
要使不等式S_n＞

1

3

log_a（1-a）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

log_a（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定及數(shù)列{S_n}的單調(diào)性的分析，突出裂項(xiàng)法求和，突出轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力的考查，屬于難題．