Question

9．設(shè)x，y∈R⁺，求證：$\sqrt{{x}^{2}-3x+3}$+$\sqrt{{y}^{2}-3y+3}$+$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$≥$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用幾何意義，如下設(shè)計：以$\sqrt{3}$為直角邊的等腰直角三角形OAB，點O為直角頂點．分別做出射線OX，OY．使得OX與OA的夾角為30°，使得OX與OY的夾角為30°，使得OY與OB的夾角為30°，則$\sqrt{{x}^{2}-3x+3}$，$\sqrt{{y}^{2}-3y+3}$，$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$，分別是AX，BY，XY的長度．即可得出．

解答 證明：利用幾何意義，如下設(shè)計：以$\sqrt{3}$為直角邊的等腰直角三角形OAB，點O為直角頂點．分別做出射線OX，OY．
使得OX與OA的夾角為30°，使得OX與OY的夾角為30°，使得OY與OB的夾角為30°，
則$\sqrt{{x}^{2}-3x+3}$，$\sqrt{{y}^{2}-3y+3}$，$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$，分別是AX，BY，XY的長度．
∴AX+BY+XY的最小值為AB=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式及其幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．