Question

20．設數(shù)列{a_n}的首項為10，其前n項和S_n滿足3S_n+1=3S_n+2a_n，數(shù)列{lga_n}的前n項和T_n的最大值為6+15lg$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是首項為10，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，求其通項公式后代入數(shù)列{lga_n}，利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列前n項和整理，再由二次函數(shù)求得數(shù)列{lga_n}的前n項和T_n的最大值．

解答 解：由3S_n+1=3S_n+2a_n，得3（S_n+1-S_n）=2a_n，
即3a_n+1=2a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}是首項為10，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=10•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∴T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n=lg（a₁a₂…a_n）
=$lg[1{0}^{n}（\frac{2}{3}）^{1+2+…+（n-1）}]$=$lg[1{0}^{n}（\frac{2}{3}）^{\frac{n（n-1）}{2}}]$
=n+$\frac{{n}^{2}-n}{2}lg\frac{2}{3}$=$\frac{{n}^{2}}{2}lg\frac{2}{3}+（1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}）n$．
對稱軸方程為n=$-\frac{1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}}{2•\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{lg2-lg3}$．
∵n∈N^*，
∴當n=6時，數(shù)列{lga_n}的前n項和T_n的最大值為$\frac{{6}^{2}}{2}lg\frac{2}{3}+（1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}）×6=6+15lg\frac{2}{3}$．
故答案為：6+15lg$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了等差數(shù)列前n項和的求法，訓練了二次函數(shù)的最值的求法，是中檔題．