Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＜0）的最小正周期為π，$（-\frac{π}{6}，0）$是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且曲線y=f（x）在該點(diǎn)處切線的斜率為-8．
（1）求a，b，ω的值；
（2）若角α，β的終邊不共線，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值；
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{24}$對(duì)稱，判斷：曲線y=g（x）上是否存在與直線2x+19y+c=0（c為常數(shù)）垂直的切線？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)f（x）的最小正周期為π，求出ω=，利用$f（-\frac{π}{6}）=0$，得b=$\sqrt{3}$a，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線斜率，得到a，即可求出函數(shù)解析式．
（2）f（α）=f（β），推出α+β，然后求解$tan（α+β）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的范圍，通過存在切線與直線2x+19y+c=0垂直，則斜率為$\frac{19}{2}$，然后判斷不存在這樣的切線．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＜0）的最小正周期為π，可得T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，由$f（-\frac{π}{6}）=0$，得$asin（-\frac{π}{6}×2）+bcos（-\frac{π}{6}×2）=0$，b=$\sqrt{3}$a，又a＜0，所以函數(shù)f（x）=asin2x+$\sqrt{3}$acos2x=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）．
f′（x）=4acos（2x+$\frac{π}{3}$）．f′（$-\frac{π}{6}$）=-8，所以a=-2．
b=-2$\sqrt{3}$，f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）$-4sin（2a+\frac{π}{3}）=-4sin（2β+\frac{π}{3}）=0$，$（2α+\frac{π}{3}）=（2β+\frac{π}{3}）+2kπ（k∈Z）$或$（2α+\frac{π}{3}）+（2β+\frac{π}{3}）=2kπ+π（k∈Z）$，
即α=β+kπ（k∈Z）（舍，因?yàn)棣�，β終邊不共線）
$α+β=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴$tan（α+β）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）$g（x）=f（-\frac{π}{12}-x）=-4sin[2（-\frac{π}{12}-x）+\frac{π}{3}]$=$-4sin（-2x+\frac{π}{6}）=4sin（2x-\frac{π}{6}）$，${g^'}（x）=8cos（2x-\frac{π}{6}）∈[-8，8]$，
若存在切線與直線2x+19y+c=0垂直，則斜率為$\frac{19}{2}$，
故不存在這樣的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．