Question

3．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m（x∈R），函數(shù)f（x）的最大值為2．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊是a、b、c，．若A為銳角，且滿足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求邊長(zhǎng)a．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域表示出f（x）的最大值，根據(jù)最大值為2求出m的值即可；
（2）由（1）確定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinA的值代入得到bc=3，聯(lián)立求出b與c的值，利用余弦定理求出a的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-m=$\sqrt{3}$（cos2x+1）+sin2x-m=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-m，
∴函數(shù)f（x）在2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)取得最大值，即2+$\sqrt{3}$-m=2，
解得：m=$\sqrt{3}$；
（2）∵f（A）=0，
∴2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，即sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，
由A為銳角，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，
∵△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即bc=3②，
聯(lián)立①②，解得：b=3，c=1，
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=3²+1²-2×3×1×cos$\frac{π}{3}$，
∴a=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．