Question

13．兩球O₁和O₂在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)部，且互相外切，若球O₁與過(guò)點(diǎn)A的正方體的三個(gè)面相切，球O₂與過(guò)點(diǎn)C₁的正方體的三個(gè)面相切，則球O₁和O₂的表面積之和的最小值為（　�。�

• A． 3（2-$\sqrt{3}$）π
• B． 4（2-$\sqrt{3}$）π
• C． 3（2+$\sqrt{3}$）π
• D． 4（2+$\sqrt{3}$）π

Answer 1

分析 設(shè)出球O₁與球O₂的半徑，求出面積之和，利用相切關(guān)系得到半徑與正方體的對(duì)角線的關(guān)系，通過(guò)基本不等式，從而得出面積的最小值．

解答 解：∵AO₁=$\sqrt{3}$R₁，C₁O₂=$\sqrt{3}$R₂，O₁O₂=R₁+R₂，
∴（$\sqrt{3}$+1）（R₁+R₂）=$\sqrt{3}$，
R₁+R₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+1}}$，球O₁和O₂的表面積之和為4π（R₁²+R₂²）≥4π•2（$\frac{{{R_1}+{R_2}}}{2}$）²
=2π（R₁+R₂）²=3（2-$\sqrt{3}$）π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查球與正方體相切關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式求解最值問(wèn)題，考查計(jì)算能力，空間想象能力．