Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)f（x）在X上有界的充分必要條件是它在 X上既有上界又有下界．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)有界的定義，及函數(shù)上界下界的定義，逐一分析充分性和必要性，綜合可得結(jié)論．

解答 證明：（必要性）
∵f（x）在X上有界，
∴|f（x）|≤M（M屬于正實(shí)數(shù)集），
∴-M≤f（x）≤M，
∴f（x）既有上界M，又有下界-M．
（充分性）
∵f（x）在X上既有上界又有下界，
∴Min≤f（x）≤Max（Min，Max屬于實(shí)數(shù)集），
∴|f（x）|≤max（|Min|，|Max|），
∴f（x）在X上有界．
綜上所述，函數(shù)f（x）在X上有界的充分必要條件是它在 X上既有上界又有下界．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義與判斷，函數(shù)的有界性，難度中檔．