Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是實(shí)數(shù)常數(shù)）的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，1），與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是（$\frac{2π}{3}$，-3）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b²=a²+c²+accosB，角A的取值范圍是區(qū)間M，當(dāng)x∈M時(shí)，試求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等式化簡(jiǎn)f（x），由最高最低點(diǎn)坐標(biāo)得到未知量ω和c．
（2）由余弦定理，得到B的值和M的范圍，由此得到2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由此得到值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+c，
∵圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，1），與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是（$\frac{2π}{3}$，-3），
∴c=-1，T=π，
∴ω=2，
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）∵b²=a²+c²+accosB，
∴cosB=0，∴B=$\frac{π}{2}$，
∴M∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈（-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)，以及由最高最低點(diǎn)坐標(biāo)得到未知量．再由余弦定理，得到B的值和M的范圍，由此得到值域．