Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，則橢圓的離心率為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 過M作MN⊥x軸，交x軸于N，不妨設(shè)M在第一象限，從而得到M（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b$），由MF₁⊥MF₂，利用$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=0$即可求出橢圓的離心率．

解答 解：如圖，橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|，
不妨設(shè)M在第一象限，過M作MN⊥x軸，交x軸于N，
∴N是OA的中點(diǎn)，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{a}{2}$，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
即M（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b$），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=（\frac{a}{2}+c，\frac{\sqrt{3}}{2}b）•（\frac{a}{2}-c，\frac{\sqrt{3}}{2}b）$=$\frac{{a}^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{3}{4}^{2}=0$，
∴4c²=a²+3b²=a²+3a²-3c²，即4a²=7c²，得2a=$\sqrt{7}$c，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，合理運(yùn)用MF₁⊥MF₂，|MA|=|MO|是關(guān)鍵，是中檔題．