Question

5．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由 a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），可得a_n-1²=S_n-1+S_n-2 （n≥3）．兩式相減可得 a_n -a_n-1=1，再由a₁=1，可得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù){a_n}的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)b_n和b_n+1，由題意可得b_n+1-b_n=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值為-1，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），∴a_n-1²=S_n-1+S_n-2 （n≥3）．
兩式相減可得a_n² -a_n-1²=S_n-s_n-2=a_n +a_n-1，
∴a_n -a_n-1=1，
再由a₁=1，
∴正數(shù)數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），
∴b_n+1=（1-a_n+1）²-a（1-a_n+1）．
即b_n=（1-n）²-a（1-n）=n²+（a-2）n+1-a，b_n+1=[1-（n+1）]²-a[1-（n+1）]=n²+an．
故b_n+1-b_n=2n+a-1，
再由b_n+1＞b_n對(duì)任意n∈N^*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值為1-2=-1，故a＞-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列不等式的恒成立問題，屬于中檔題．