Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x+ x2（k≥0）． （Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（I）當(dāng)K=2時(shí)， 由于 所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0
（II）f'（x）= ﹣1+kx（x＞﹣1）
當(dāng)k=0時(shí)，
因此在區(qū)間（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)， ，得 ；
因此，在區(qū)間（﹣1，0）和 上，f'（x）＞0；在區(qū)間 上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，0）和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ）；
當(dāng)k=1時(shí)， ．f（x）的遞增區(qū)間為（﹣1，+∞）
當(dāng)k＞1時(shí)，由 ，得 ；
因此，在區(qū)間 和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間 上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為
【解析】（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化簡成一般式即可；（II）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），討論k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情形，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．