Question

11．如圖，在五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠ACF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD，P是BC的中點(diǎn)，
（1）求異面直線(xiàn)BE與PF所成角的余弦值；
（2）在直線(xiàn)EF上，是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面EBD，若存在，求出該點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形CDEF為菱形，取EF的中點(diǎn)G，連接GD，則GD⊥EF，GD⊥CD，從而GD⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DG的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)BE與PF所成角的余弦值．
（2）存在，該點(diǎn)即為EF中點(diǎn)G，連結(jié)CE、DF交于點(diǎn)H，推導(dǎo)出平面PGH∥平面EBD，從而PG∥平面EBD．

解答 解：（1）∵CD∥EF，CD=EF=CF=2，
∴四邊形CDEF為菱形，
∵∠DCF=60°，∴△DEF為正三角形，取EF的中點(diǎn)G，連接GD，則GD⊥EF，
∴GD⊥CD，∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，
CD=平面CDEF∩平面ABCD，∴GD⊥平面ABCD，
∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG兩兩垂直，…（2分）
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DG的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，
∴A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，-1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（0，1，$\sqrt{3}$），$P（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，0}）$，
∴$\overrightarrow{BE}=（{-1，-2，\sqrt{3}}），\overrightarrow{PF}=（{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}}）$，
cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{PF}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PF}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{PF}|}$=$\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{8•\frac{7}{2}}}$=$\frac{9\sqrt{7}}{28}$．
∴異面直線(xiàn)BE與PF所成角的余弦值為$\frac{9\sqrt{7}}{28}$．
（2）存在，該點(diǎn)即為EF中點(diǎn)G，
連結(jié)CE、DF交于點(diǎn)H，
∵PH∥EB，GH∥ED，EB∩ED=E，
PH，GH?平面PGH，EB，ED?平面EBD，
∴平面PGH∥平面EBD，∴PG∥平面EBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面角的余弦值的求法，考查滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．