Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（4a-1）x+3a在區(qū)間[-

1

2

，3]上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最大值的情況有：在端點(diǎn)處，在頂點(diǎn)處，所以分別讓區(qū)間[-

1

2

，3]端點(diǎn)和頂點(diǎn)處取得最大值，求出對(duì)應(yīng)的a，然后驗(yàn)證是否符合條件即可．

解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)在端點(diǎn)處或頂點(diǎn)取得最大值得：
（1）若f（-

1

2

）=3，即

a

4

-

4a-1

2

+3a=3，解得a=2；
∴f（x）=2x2+7x+6=2(x+

7

4

)2-

1

8

，∴f（3）是最大值，所以這種情況不存在；
（2）若f（3）=3，即9a+12a-3+3a=3，解得a=

1

4

；
∴f（x）=

x2

4

+

3

4

，∴;f(3)f（3）是最大值，且f（3）=3，所以這種情況正確；
（3）若f（

1-4a

2a

）=3，即

(1-4a)2

4a

+(4a-1)•

1-4a

2a

+3a=3，解a=-

1

2

；
∴f（x）=-

1

2

x2-3x-

3

2

=-

1

2

(x+3)2+3，所以f（-

1

2

）最大，所以這種情況不存在；
綜上得a=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最大值的可能情況，配方法求二次函數(shù)的最大值．