Question

福州、廈門、莆田、龍巖四個城市，它們分別有一個著名的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍崆洞，把福州、廈門、莆田、龍巖四個城市和它們的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍崆洞分別寫成左右兩列，現(xiàn)在一名旅游愛好者隨機用4條線把左右全部連接起來，構(gòu)成“一一對應(yīng)”，已知連對的得2分，連錯的得0分（如圖所示是一種“一一對應(yīng)”的連法，連對的只有一個“廈門→鼓浪嶼”）．
（Ⅰ）求該旅游愛好者只得2分的概率；
（Ⅱ）該旅游愛好者的得分記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）福州、廈門、莆田、龍巖四個城市和它們的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍硿洞構(gòu)成的“一一對應(yīng)”共有

A

4 4

=24種，該旅游愛好者只對了一個連線，有

C

1 4

•2=8種可能，由此能求出該旅游愛好者只得2分的概率．
（Ⅱ）由題意得ξ的得分情況有0、2、4、8四種，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）福州、廈門、莆田、龍巖四個城市
和它們的旅游景點鼓山、鼓浪嶼、湄洲島、龍硿洞構(gòu)成的“一一對應(yīng)”共有

A

4 4

=24種，
該旅游愛好者只對了一個連線，有

C

1 4

•2=8種可能，
因此該旅游愛好者只得2分的概率為P=

8

24

=

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）由題意得ξ的得分情況有0、2、4、8四種，
P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

，
P（ξ=2）=

C 1 4 •2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

，
P（ξ=4）=

C 2 4 •1

A 4 4

=

6

24

=

1

4

，
P（ξ=8）=

1

A 4 4

=

1

24

，…（9分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	2	4	8
P	3 8	1 3	1 4	1 24

∴Eξ=0×

3

8

+2×

1

3

+4×

1

4

+8×

1

24

=2．…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．