Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到直線y=x+2的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）若過（3，0）且斜率為l的直線交拋物線于D，H兩點(diǎn)，將線段DH向左平移3個(gè)單位長度至D₁H₁，則在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$最大？若存在，求出最大值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的距離與已知條件拋物線y²=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到直線y=x+2的距離的最小值的關(guān)系，求出P．
（2）求出線段的長度，判斷平移后的直線與拋物線的關(guān)系，通過E所在位置討論三角形面積的最值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到直線y=x+2的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．設(shè)與直線平行直線方程為：y=x+m，平行線與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離取得最小值．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y可得：x²+（2m-2p）x+m²=0，相切時(shí)△=4（m-p）²-m²=0，解得p=2m．
所以：$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m=1，p=2．m=3（舍去此時(shí)y=x+2與拋物線相交）．
拋物線的方程為：y²=4x．
（2）由題意可得DH的方程為：y=x-3，$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，可得x²-10x+9=0，解得x=1或x=9．
不妨D（1，-2），H（9，6）．所以DH=$\sqrt{（9-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=8$\sqrt{2}$．
將線段DH向左平移3個(gè)單位長度至D₁H₁，可得D₁H₁的方程為：y=x，如圖：
兩條平行線的距離為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，E到D₁H₁，的距離為d，到DH的距離為：d+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)E在拋物線OC弧時(shí)，E到D₁H₁的距離為d，到DH的距離為：d+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=12．
當(dāng)E在拋物線夾在兩條平行線之間的弧時(shí)，E接近O與C時(shí)，差值比較大，接近$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=12．小于12．
當(dāng)E在拋物線D，H的右側(cè)時(shí)，E到D₁H₁的距離為d，到DH的距離為：d-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=-12．
存在最大值為12，點(diǎn)E的坐標(biāo)在圖形拋物線OC弧不包括端點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，拋物線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．