Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1．
（1）確定a，b的值，
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=3處取得極小值是3，可得f′（3）=0，f（3）=3，從而可求a、b的值；
（2）利用（1）得到的函數(shù)的解析式，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值即可．

解答 （本小題10分）
解：（ 1 ）∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx，∴f′（x）=3x²-6ax+2b，
函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1．
f′（1）=3-6a+2b=0，…①
∴f（1）=1-3a+2b=-1，…②
解①②得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）f′（x）=3x²-2x-1，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x=1，x=$-\frac{1}{3}$，
在區(qū)間（-∞，$-\frac{1}{3}$）和（1，+∞）上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（$-\frac{1}{3}$，1）內(nèi)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
f（x）的極大值為$\frac{2}{27}$；f（x）的極小值為-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的動(dòng)手的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．