Question

13．已知，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=2BC=2，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng)，若$\overrightarrow{AP}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$，則α+β的取值范圍是（　　）

• A． [0，1]
• B． [0，2]
• C． [1，2]
• D． （-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程；設(shè)出P的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)用α，β表示，代入圓內(nèi)方程求出范圍．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
AB=2BC=2，
A（0，0），D（2，0），C（2，$\sqrt{3}$），B（2cos$\frac{π}{3}$，2sin$\frac{π}{3}$）
即有B（1，$\sqrt{3}$），
直線BD的方程為$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0，
C到BD的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為：（x-2）²+（y-$\sqrt{3}$）²=$\frac{3}{4}$，
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{AD}$=（2，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，$\sqrt{3}$），
若$\overrightarrow{AP}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$，
∴（x，y）=（α+2β，$\sqrt{3}$α）
∴x=α+2β，y=$\sqrt{3}$α，
∵P在圓內(nèi)或圓上，
∴（α+2β-2）²+（$\sqrt{3}$α-$\sqrt{3}$）²≤$\frac{3}{4}$，
設(shè)α+β=t，得β=t-α，
代入上式化簡(jiǎn)整理得4α²-（4t+2）α+4t²-8t+$\frac{25}{4}$≤0，
若要上述不等式有實(shí)數(shù)解，
則△=（4t+2）²-4×4×（4t²-8t+$\frac{25}{4}$）≥0，
化簡(jiǎn)得t²-3t+2≤0，
解得1≤t≤2，
即1≤α+β≤2，
∴α+β取值范圍是[1，2]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將問(wèn)題代數(shù)化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標(biāo)公式．