Question

15．如圖，ACQP所在的平面與菱形ABCD所在的平面相互垂直，交線為AC，若$AC=\sqrt{2}AP，E，F(xiàn)$分別是PQ，CQ的中點．求證：
（1）CE∥平面PBD；
（2）平面FBD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，證明四邊形POCE是平行四邊形，可得CE∥PO，即可證明CE∥平面PBD；
（2）證明PO⊥平面FBD，即可證明平面FBD⊥平面PBD．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則
∵O是AC的中點，E是PQ的中點，
∴PE=OC，PE∥OC，
∴四邊形POCE是平行四邊形，
∴CE∥PO，
∵CE?平面PBD，PO?平面PBD，
∴CE∥平面PBD；
（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACQP，
∵PO?平面ACQP，∴BD⊥PO，
連接AQ，OF，則由三角形相似可AQ⊥PO，
∵F是CQ中點，O是AC的中點，
∴OF∥AQ，
∴OF⊥PO，
∵BD∩OF=O，
∴PO⊥平面FBD，
∵PO?平面PBD，
∴平面FBD⊥平面PBD．

點評 本題是中檔題，考查直線與平面平行、垂直，平面與平面垂直的證明的方法，考查空間想象能力，基本知識的靈活運用能力．