Question

16．函數(shù)f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域為（-∞，5]．

Answer 1

分析 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x，
令：t=$\sqrt{x+1}$，（t≥0），則：x=t²-1，
那么函數(shù)f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x轉(zhuǎn)化為g（t）=4t-t²+1，（t≥0），
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
開口向下，對稱軸t=2．
當(dāng)t=2時，函數(shù)g（t）取得最大值為5．
∴函數(shù)g（t）的值域為（-∞，5]，即函數(shù)f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域（-∞，5]．
故答案為：（-∞，5]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇