Question

已知在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，則線面垂直的判斷定理證明．
（2）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE，又過F作FG⊥CE，交CE于點(diǎn)G，連接BG，得知∠BGF為二面角D-EC-B的平面角，然后在Rt△BGF中求解．

解答：解：（Ⅰ）連接BF，不妨設(shè)AE=1，則AB=BC=AC=BD=2，
于是CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

（3分）
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD為兩條相交直線
故EF⊥平面BCD（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE
又過F作FG⊥CE，交CE于點(diǎn)G，連接BG
因此∠BGF為二面角D-EC-B的平面角（9分）
tan∠BGF=

BF

FG

，
而FG=

EF•CF

CE

=

3 × 2

5

=

30

5

所以tan∠BGF=

2

30 5

=

15

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)考查二面角的求法，基本思路是先找或作出二面角的平面角，再求解．