Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）作圓（x-c）²+y²=c²的切線，切點(diǎn)為E，且該切線與雙曲線的右支交于點(diǎn)A．若

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3 +1

  2

• B、

  3

• C、

  3

  +1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：FE是圓F′：（x-c）²+y²=c²的切線，可得F′E⊥EF，利用勾股定理可得EF=

|FF′|2-|EF′|2

=

3

c．由于

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），可得點(diǎn)E是線段AF的中點(diǎn)，于是|AF|=2

3

c，|AF′|=|FF′|=2c．再利用雙曲線的定義即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵FE是圓F′：（x-c）²+y²=c²的
切線，
∴F′E⊥EF，
∴EF=

|FF′|2-|EF′|2

=

3

c．
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），
∴點(diǎn)E是線段AF的中點(diǎn)，
∴|AF|=2

3

c，|AF′|=|FF′|=2c．
∵|AF|-|AF′|=2a，
∴2

3

c-2c=2a，
∴

c

a

=

1

3 -1

=

3

+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力．