Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+2ax，
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為0，求a的值．
請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分類討論，利用函數(shù)f（x）在在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為0，得方程即可求a的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f'（x）=e^x+2a＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=e^x+2a，
令e^x+2a=0，得x=ln（-2a），所以當(dāng)x∈（-∞，ln（-2a））時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln（-2a），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（ II）由（ I）可知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x+2a＞0，不符合題意，
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=e^x+2a，因?yàn)椋��?dāng)x∈（-∞，ln（-2a））時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
①當(dāng)x∈（ln（-2a），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)ln（-2a）≤1，即$-\frac{e}{2}≤a＜0$時(shí)，f（x）最小值為f（1）=2a+e，
解2a+e=0，得$a=-\frac{e}{2}$，
②當(dāng)ln（-2a）＞1，即$a＜-\frac{e}{2}$時(shí)，f（x）最小值為f（ln（-2a））=-2a+2aln（-2a）．
解-2a+2aln（-2a）=0，得$a=-\frac{e}{2}$，不符合題意，綜上，$a=-\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．