Question

下列命題中，真命題的序號是

 

．
（1）x∈R，y=f（x）-f（-x）是奇函數(shù)
（2）x∈R，y=|f（x）|是偶函數(shù)
（3）f（x）在R上是增函數(shù)，則f（f（x））在R上也是增函數(shù)
（4）若f（x），g（x）均為R上的增函數(shù)，則y=f（x）g（x）在R上也是增函數(shù)
（5）若f（x）在R上是增函數(shù)，則

1

f(x)

在R上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令F（x）=f（x）-f（-x），運用奇偶性的定義，即可判斷；
（2）比如f（x）=x+1，由奇偶性的定義，即可判斷；
（3）f（x）在R上是增函數(shù)，由增函數(shù)的定義，即可判斷y=f（f（x））在R上也是增函數(shù)；
（4）若f（x），g（x）均為R上的增函數(shù)，比如f（x）=x，g（x）=x，即可判斷；
（5）若f（x）在R上是增函數(shù)，比如f（x）=x，即可判斷．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）-f（-x），則F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），則F（x）為奇函數(shù)，故（1）對；
（2）比如f（x）=x+1，則|f（x）|=|x+1|，顯然不是偶函數(shù)，故（2）錯；
（3）f（x）在R上是增函數(shù)，即對任意的x₁，x₂，x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），
也都有f（f（x₁））＜f（f（x₂）），即y=f（f（x））在R上也是增函數(shù)，故（3）對；
（4）若f（x），g（x）均為R上的增函數(shù)，比如f（x）=x，g（x）=x，y=f（x）g（x）=x²在（0，+∞）上
是增函數(shù)，故（4）錯；
（5）若f（x）在R上是增函數(shù)，比如f（x）=x，則y=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上均為減函數(shù)，
故（5）錯．
故答案為：（1）、（3）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于易錯題．