Question

（文）已知數列{a_n}中，a₂=4，其前n項和S_n滿足S_n=n²+λn（λ∈R）．
（1）求實數λ的值，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列

1

Sn

+b_n是首項為λ、公比為2λ的等比數列，求數列{a_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由S_n=n²+λn，求出a₁，S₂，結合a₂=4列式求解λ，代入前n項和公式后由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案；
（2）由{

1

Sn

+b_n}是首項為λ、公比為2λ的等比數列求出其通項公式，進一步得到{b_n}的通項公式，然后分組后利用等比數列的求和公式及裂項相消法求數列的和．

解答： 解：（1）由S_n=n²+λn，得a₁=S₁=1+λ，S₂=a₁+a₂=4+2λ，
∵a₂=4，
∴1+λ+4=4+2λ，解得λ=1．
∴Sn=n2+n．
則n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n．
驗證a₁=2適合上式，
∴a_n=2n；
（2）∵{

1

Sn

+b_n}是首項為λ、公比為2λ的等比數列，
∴

1

Sn

+bn=2n-1，bn=2n-1-

1

Sn

=2n-1-(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=(1+2+22+…+2n-1)-[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1-2n

1-2

-(1-

1

n+1

)=2n+

1

n+1

-2．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比數列的通項公式，訓練了利用分組求和和裂項相消法求數列的和，是中檔題．