Question

14．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB=10，BC=3．
（1）如果M為AB上一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠A，求AM的長；
（2）如果點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與A，B不重合），且滿足∠DMN=∠A，MN交BC延長線于N，設(shè)AM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)建圖形，根據(jù)條件，利用△ADM∽△BMC，列出比例關(guān)系，求出答案；
（2）利用相似△ADM∽△BMN，得出相似比，根據(jù)題意得出函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合（2）得出x的范圍．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)AM的長為x，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
又∵∠A=∠DMC，∠1+∠2+∠A=∠2+∠DMC+∠3=180°，
∴∠1=∠3，∴△ADM∽△BMC．
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{10-x}$，
解之得x₁=1，x₂=9，
經(jīng)檢驗(yàn)都是原分式方程的根．
∴AM=1或9…．（6分）


（2）由（1）可證得△ADM∽△BMN，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{x}{y+3}=\frac{3}{10-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$ x²+$\frac{10}{3}$ x-3，
所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為
y=-$\frac{1}{3}$ x²+$\frac{10}{3}$ x-3（1≤x≤9）．…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 考察了函數(shù)的模型應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)題意的理解，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題．