Question

2．在下列四個(gè)命題中：
①函數(shù)$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定義域是$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{4}+kπ，k∈z}\right\}$；
②已知$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，則α的取值集合是$\left\{{\frac{π}{6}}\right\}$；
③函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$的最小正周期是π；
④函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值為-1．
把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填在橫線上①③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正切函數(shù)的定義域，即可求出函數(shù)$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定義域；
②求出$sinα=\frac{1}{2}$在α∈[0，2π]的解即可；
③化簡(jiǎn)函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$，求出它的最小正周期；
④利用正弦函數(shù)的有界性求出函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值即可．

解答 解：對(duì)于①，令x+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x≠$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)$y=tan（x+\frac{π}{4}）$的定義域是$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{4}+kπ，k∈z}\right\}$，①正確；
對(duì)于②，$sinα=\frac{1}{2}$，且α∈[0，2π]，
則α的取值集合是{$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$}，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）$
=（sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$）+（sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$）=sin2x，
∴函數(shù)y的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)sinx=-1時(shí)，y取得最小值為-1，④正確．
綜上，正確的命題序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．