Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2-x+3(x＜-1) 23x+1(-1≤x≤1) 2x+3(x＞1)

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，作出分段函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥2^2a-2^a-

7

4

，根據(jù)（1）中作出的分段函數(shù)的圖象，即可求得f（x）_min，從而得到關(guān)于a的不等式，先求解2^a的取值范圍，再應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2-x+3(x＜-1) 23x+1(-1≤x≤1) 2x+3(x＞1)

，
∴作出分段函數(shù)f（x）的圖象如右圖所示，
根據(jù)圖象從左向右呈“上升”趨勢的為單調(diào)遞增，呈“下降”趨勢的即為單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞-1），（-1，+∞）；
（2）根據(jù)（1）中的f（x）的圖象，可知當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=

1

4

，
∵不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，即f（x）_min≥2^2a-2^a-

7

4

，
∴

1

4

≥2^2a-2^a-

7

4

，整理可得2^2a-2^a-2≤0，
∴（2^a+1）（2^a-2）≤0，即-1≤2^a≤2，
又∵2^a＞0，
∴0＜2^a≤2，解得a≤1，
故實數(shù)a的取值范圍為a≤1．

點評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，主要是分段函數(shù)的單調(diào)性和最值問題．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解，根據(jù)分段函數(shù)的圖象很容易得到相關(guān)的性質(zhì)，若選用分類討論的方法，則關(guān)鍵是討論需用哪段解析式進行求解．本題同時考查了不等式的恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．屬于中檔題．