Question

8．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M為PB的中點(diǎn)．
（1）試在CD上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面PAD；
（2）點(diǎn)N在滿足（1）的條件下，求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）CN=$\frac{1}{3}$ND，MN∥平面PAD，過M作ME∥AB交PA于E，連接DE，證明MN∥DE即可；
（2）利用MN∥DE，考的直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角．解△AED即可．

解答 （1）證明：CN=$\frac{1}{3}$ND，MN∥平面PAD．
過M作ME∥AB交PA于E，連接DE．
∵CN=$\frac{1}{3}$ND，
∴CN=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{2}$AB=EM．
又EM∥DC∥AB，∴EM∥DN，且EM=DN
∴DEMN為平行四邊形，
∴MN∥DE，
又DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）解：∵M(jìn)N∥DE
∴直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵AB⊥AD，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∴∠AED為直線DE與平面PAB所成角．
∵AE=$\frac{1}{2}$，AD=1，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線MN與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面平行的判定是關(guān)鍵．