Question

15．以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；
（2）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP面積取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)α可得普通方程．
（2）由于弦長AB是確定的，當(dāng)△ABP面積取最大值時(shí)，經(jīng)過圓心（1，0）與直線l垂直的直線與圓的交點(diǎn)中的一個(gè)即為所求．經(jīng)過圓心（1，0）與直線l垂直的方程為：y=x-1．與圓的方程聯(lián)立，解得y，進(jìn)而得出要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x+y-4=0．
曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)α可得普通方程：（x-1）²+y²=9．
（2）由于弦長AB是確定的，當(dāng)△ABP面積取最大值時(shí)，經(jīng)過圓心（1，0）與直線l垂直的直線與圓的交點(diǎn)中的一個(gè)即為所求．
經(jīng)過圓心（1，0）與直線l垂直的方程為：y=x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化為2y²=9，解得y=$±\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
取y=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得x=1-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴當(dāng)△ABP面積取最大值時(shí)，P$（1-\frac{3\sqrt{2}}{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式、直線與曲線相交交點(diǎn)與弦長問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．