Question

已知函數(shù)f（x）cosx（cosx-

3

sinx）（x∈R）
（Ⅰ）寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若f（A）=0，A∈（0，

π

2

），且（1+

3

）c=2b．求角C．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，然后利用余弦定理的圖象和性質(zhì)求得其單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（A）=0求得cos（2A+

π

3

）的值，進(jìn)而求得A，然后通過正弦定理把（1+

3

）c=2b轉(zhuǎn)化成角的正弦的關(guān)系式，化簡整理求得tanC的值，進(jìn)而求得C．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（cosx-

3

sinx）=cos²x-

3

sinxcosx=

1

2

cos2x+

1

2

-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）+

1

2

∴當(dāng)2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z時，即kπ-

π

6

x≤kπ+

π

3

時，函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=cos（2x+

π

3

）+

1

2

∴f（A）=cos（2A+

π

3

）+

1

2

=0
∴cos（2A+

π

3

）=-

1

2

，
∵A∈（0，

π

2

），
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴2A+

π

3

=

2π

3

，
∴A=

π

6

．
∵（1+

3

）c=2b．
∴（1+

3

）sinC=2sinB，
∴（1+

3

）sinC=2sin（π-

π

6

-C）=2sin（

5π

6

-C）=2（sin

5π

6

cosC-cos

5π

6

sinC）=cosC+

3

sinC，
∴cosC=sinC，即tanC=1，
∴C=

π

4

點評：本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．注重對基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)運算能力的考查．