Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx-

1

4

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a是第一象限的角，且f（

a

2

-

π

12

）=

3

4

，求tanα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期和值域．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函數(shù)解析式，和已知等式可求得α的值，最后求得tanα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx-

1

4

=

1+cos2x

4

+

3 sin2x

4

-

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域?yàn)閇-

1

2

，

1

2

]．
（Ⅱ）f（

α

2

-

π

12

）=

1

2

sin（α-

π

6

+

π

6

）=

1

2

sinα=

3

4

，
∴sinα=

3

2

，
∵α是第一象限的角，
∴α=

π

3

，
∴tanα=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的運(yùn)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．要對(duì)倍角公式、兩角和與差的公式及逆用公式靈活運(yùn)用．