Question

6．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的圖象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$．（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=b_n-2ⁿ，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到$_{n+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+4$=b_n+4，由此能數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由c_n=b_n-2ⁿ=4n-3-2ⁿ，利用分組和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的圖象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$．（n∈N^*）
∴${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，∴$_{n+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+4$=b_n+4，
∴b_n+1-b_n=4，$_{1}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×4=4n-3，${a}_{n}=\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{4n-3}$．
（Ⅱ）解：∵c_n=b_n-2ⁿ=4n-3-2ⁿ，
∴S_n=4（1+2+3+…+n）-3n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=4×$\frac{n（n+1）}{2}$-3n-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2n²-n+2-2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法的合理運用．