【題目】如圖,已知橢圓 =1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢 圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B、

(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若 =2 = ,求橢圓的方程.

【答案】
(1)解:若∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=C、

所以a= c,e= =


(2)解:由題知A(0,b),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),

其中,c= ,設B(x,y).

=2 (c,﹣b)=2(x﹣c,y),解得x= ,

y=﹣ ,即B( ,﹣ ).

將B點坐標代入 =1,得 + =1,

+ =1,

解得a2=3c2.①

又由 =(﹣c,﹣b)( ,﹣ )=

b2﹣c2=1,

即有a2﹣2c2=1.②

由①,②解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.

所以橢圓方程為 + =1.


【解析】(1)根據∠F1AB=90°推斷出△AOF2為等腰直角三角形,進而可知OA=OF2,求得b和c的關系,進而可求得a和c的關系,即橢圓的離心率.(2)根據題意可推斷出A,和兩個焦點的坐標,設出B的坐標,利用已知條件中向量的關系,求得x和y關于c的表達式,代入橢圓方程求得a和c的關系,利用 = 求得a和c的關系,最后聯(lián)立求得a和b,則橢圓方程可得.

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