Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求的反函數(shù)；

（2）求函數(shù)的最大值（用表示）；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，恒成立，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)定義求解即可；

（2）根據(jù)y＝f（x）f（﹣x），判斷函數(shù)y的單調(diào)性即可求解最大值．

（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1），換元t＝a2x，得h（t），討論和時(shí)，h（t）最值即可求解

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x），

∴1+2x，

即2x1，則0＜y＜1，

∴x＝log2（）；

故f（x）的反函數(shù)f﹣1（x）＝log2（），x∈（0，1）

（2）∵y＝f（x）f（﹣x），

設(shè)y＝2x+2﹣x，易知，函數(shù)y＝2x+2﹣x在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2x+2﹣x有最小值，最小值為2，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f（x）f（﹣x）有最大值，

∴ymax；

（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1），令t＝a2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．

∴h（t），

當(dāng)時(shí)h（t）在（0，a]上單調(diào)遞減，所以

∵對(duì)任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0），

∴恒成立，∴0

當(dāng)時(shí)，，令不恒成立，舍去

綜上，a的取值范圍是（0，]．