Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）上的點M（2$\sqrt{3}$，m）到其焦點F的距離為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
（I）求m，p的值；
（Ⅱ）已知點A、B在拋物線C上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中0為坐標原點），求△ABO面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用拋物線的定義，點M（2$\sqrt{3}$，m）到其焦點F的距離．求解p，點的坐標滿足方程求m的值；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，以及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，求出y₂y₁=-6，表示出三角形的面積，利用基本不等式求解△ABO面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線定義可得$2\sqrt{3}+\frac{p}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，解得$p=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴所求拋物線方程為${y^2}=\sqrt{3}x$，
把M（$2\sqrt{3}$，m）代入可解得$m=±\sqrt{6}$，…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$y_1^2=\sqrt{3}{x_1}$，$y_2^2=\sqrt{3}{x_2}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，得$\frac{y_1^2y_2^2}{3}+{y_1}{y_2}=6$，
又A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，故y₂y₁=-6．…（6分）
∵$cos∠AOB=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}$，$sin∠AOB=\sqrt{1-{{（\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}）}^2}}$
∴${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|sin∠AOB=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|\sqrt{1-{{（\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}）}^2}}$…（8分）
=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|）}^2}-36}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{y_1^4}{3}+y_1^2）（\frac{y_2^4}{3}+y_2^2）-36}$=$\frac{1}{2}\sqrt{12（y_1^2+\frac{36}{y_1^2}+12）}$=$\sqrt{3}|{y_1^{\;}+\frac{6}{{y_1^{\;}}}}|≥6\sqrt{2}$．
∴△ABO面積的最小值為$6\sqrt{2}$．                    …（12分）

點評 本題考查拋物線的方程的綜合應用，直線與拋物線的位置關系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．