Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程，
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C相切，切點(diǎn)為T，且直線l與直線x=4相交于點(diǎn)S．試問：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得以ST為直徑的圓恒過該定點(diǎn)？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：將點(diǎn)代入橢圓方程，利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△=0，求得4k²-m²+3=0，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得T點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立即可求得S點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{1}-4=0}\\{{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}+3=0}\end{array}\right.$，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點(diǎn)（1，0）．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上得，代入橢圓方程：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1$，①----------（1分）
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，a²=4c²，b²=3c²，②----------（2分）
②代入①解得c²=1，a²=4，b²=3，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；-----------（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0；
因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C相切，即它們有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，可設(shè)T（x₀，y₀），
m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0，
∴4k²-m²+3=0，③----（6分）
此時(shí)，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3}{m}$，則T（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$）．----------（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得S（4，4k+m）．-------------------------------------------------------（8分）
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，不妨設(shè)為點(diǎn)A．
由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)A必在x軸上．-------------------------------------------------（9分）
設(shè)A（x₁，0），則由已知條件知AS⊥AT，
即$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0對(duì)滿足③式的m，k恒成立．-----------------------------------------（10分）
由$\overrightarrow{AS}$=（4-x₁，4k+m），$\overrightarrow{AT}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁，$\frac{3}{m}$），由$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0得：-$\frac{16k}{m}$+$\frac{4k{x}_{1}}{m}$-4x₁+x₁²+$\frac{12k}{m}$+3=0，
整理得（4x₁-4）$\frac{k}{m}$+x₁²-4x₁+3=0，④-----------------------（12分）
由②式對(duì)滿足①式的m，k恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{1}-4=0}\\{{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}+3=0}\end{array}\right.$，解得x₁=1．
故平面內(nèi)存在定點(diǎn)（1，0），使得以ST為直徑的圓恒過該定點(diǎn)．-----------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．