Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，直線y=x+$\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相較于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，設出兩交點A，B的坐標，利用根與系數(shù)關系寫出兩交點橫坐標的和與積，由以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點得到$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=0，代入向量坐標后結合根與系數(shù)關系得到k與m的關系，進一步由直線l過定點，并求出該定點的坐標．

解答 （Ⅰ）解：由題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
知橢圓C的右頂點為M（2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
且△=3+4k²-m²，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
而AM⊥BM，即$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=0$，
∴（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，得$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（km-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}+4=0$，
∴（1+k²）•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$-（mk-2）•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0，即（m+2k）（7m+2k）=0，
當m=-2k時，l：y=k（x-2）過定點（2，0）為右頂點，與已知矛盾；
當m=-$\frac{2}{7}$k時，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$）過定點（$\frac{2}{7}$，0），此時△=3+4k²-m²＞0；
綜上知，直線l過定點（$\frac{2}{7}$，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用向量數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，是高考試卷中的壓軸題．