Question

15．已知a＞1，b＞0，且a+b=2，求$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$的最小值．

Answer 1

分析 a＞1，b＞0，且a+b=2，可得（a-1）+b=1．變形$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$=[（a-1）+b]$（\frac{1}{a-1}+\frac{2}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞1，b＞0，且a+b=2，∴（a-1）+b=1．
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$=[（a-1）+b]$（\frac{1}{a-1}+\frac{2}）$=3+$\frac{a-1}$+$\frac{2（a-1）}$≥3+2$\sqrt{\frac{a-1}×\frac{2（a-1）}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2-$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．