Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓C上，且|PF₁|=

4

3

，
|PF₂|=

14

3

，PF₁⊥F₁F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），圓心M的坐標為（-2，1）．設直線l的方程為 y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，由此利用根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出直線方程．

解答： （本小題共14分）
解：（1）∵點P在橢圓C上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，
故橢圓的半焦距c=

5

，
從而b²=a²-c²=4，∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
∵圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5，
∴圓心M的坐標為（-2，1）．
從而可設直線l的方程為 y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，（*）
又∵A、B關于點M對稱，∴

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
∴直線l的方程為y=8x-9y+25=0，
此時方程（*）中△＞0，
故所求直線方程為8x-9y+25=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．