Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若b_n=

an

2n

，求{b_n}的前n項和T_n
（3）在（2）的條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{

Tn+λ

an+2

}為等比數(shù)列？若存在，求出λ，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項，可得S_n=

1

4

（a_n+1）²，S_n-1=

1

4

（a_n-1+1）²，兩式相減把已知條件轉(zhuǎn)化為a_n-a_n-1=2，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）代入可得b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，用“乘公比錯位相減”求數(shù)列的和；
（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等比數(shù)列，

Tn-λ

an+1

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

，結(jié)合等比的通項公式可求λ．

解答： 解：（1）當(dāng) n≥2時，S_n=

1

4

（a_n+1）²，S_n-1=

1

4

（a_n-1+1）²，
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由于數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，∴a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項a₁=1，d=2的等差數(shù)列，a_n=2n-1；
（2）b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

，
相減化簡得T_n=3-

2n+3

2n

（3）∵

Tn-λ

an+1

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

，易知，當(dāng)λ=-3時，數(shù)列{

Tn+λ

an+2

}為等比數(shù)列．

點評：本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式及利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，還考查了等比數(shù)列的通項公式，錯位相減求數(shù)列的和等知識的綜合，屬于對基本知識、基本方法的簡單運用的考查．