Question

已知直線l：y=-

1

2

x+1，試求：
（1）點(diǎn)P（-2，-1）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線l₁：y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的直線l₂的方程；
（3）直線l關(guān)于點(diǎn)A（1，1）對(duì)稱(chēng)的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱(chēng)的直線方程,待定系數(shù)法求直線方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（-2，-1）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則由垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件求得m、n的值，可得結(jié)論．
（2）先求得直線l₁：y=x-2與直線l：y=-

1

2

x+1的交點(diǎn)為E的坐標(biāo)，求出直線l₁：y=x-2上的點(diǎn)（0，-2）關(guān)于直線l：y=-

1

2

x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得l₁關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的直線l₂的方程．
（3）在對(duì)稱(chēng)的直線上任意取一點(diǎn)M（x，y），則根據(jù)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A（1，1）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（2-x，2-y）在直線l：y=-

1

2

x+1上，求得對(duì)稱(chēng)直線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（-2，-1）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則由題意可得

- 1 2 • n+1 m+2 =-1 n-1 2 =- 1 2 • m-2 2 +1

，
求得

m=- 2 5 n= 11 5

，故點(diǎn)P（-2，-1）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

5

，

11

5

）．
（2）直線l₁：y=x-2與直線l：y=-

1

2

x+1的交點(diǎn)為E（2，0），
設(shè)直線l₁：y=x-2上的點(diǎn)（0，-2）關(guān)于直線l：y=-

1

2

x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（a，b），由

b+2 a-0 •(- 1 2 )=-1 b-2 2 =- 1 2 • a+0 2 +1

 求得

a=- 4 5 b=- 18 5

，
即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

4

5

，-

18

5

，），用兩點(diǎn)式求得l₁關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的直線l₂的方程為

y+2

- 18 5 +2

=

x-0

- 4 5 -0

，即 2x-y-2=0．
（3）在直線l：y=-

1

2

x+1關(guān)于點(diǎn)A（1，1）對(duì)稱(chēng)的直線上任意取一點(diǎn)M（x，y），則點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A（1，1）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（2-x，2-y）在直線l：y=-

1

2

x+1上，
故有2-y=-

1

2

（2-x）+1，化簡(jiǎn)可得 x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，利用了垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件，還考查了中點(diǎn)公式，用兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．