Question

8．設實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$．
（1）求不等式組表示的區(qū)域面積；
（2）求x²+y²的范圍；
（3）求u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，求出交點坐標即可求不等式組表示的區(qū)域面積；
（2）設z=x²+y²，利用距離公式進行求解即可．
（3）根據(jù)分式的性質將u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$進行分解，結合直線的斜率公式即可得到結論．

解答 解：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（4，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
則不等式組表示的區(qū)域面積S=$\frac{1}{2}×（4-1）×（2-1）$=$\frac{3}{2}$；
（2）設z=x²+y²，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，
由圖象知OA的距離最小，OB的距離最大，
即z的最小值為z=1²+2²=5，z的最大值為z=4²+2²=20，
即5≤z≤20；
（3）u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$=$\frac{{y}^{2}}{xy}$-$\frac{{x}^{2}}{xy}$=$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y}{x}-\frac{1}{\frac{y}{x}}$．
設k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵z=k-$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，2]上為增函數(shù)，
∴當k=$\frac{1}{3}$時，z=$\frac{1}{3}$-3=-$\frac{8}{3}$，當k=2，z=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$，
即u=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$的取值范圍是-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結合是解決本題的關鍵．