Question

某種新藥服用x小時(shí)后血液中的殘留量為y毫克，如圖為函數(shù)y=f（x）的圖象，在x∈（0，4]時(shí)為二次函數(shù)，且當(dāng)x=4時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)；在x∈（4，20]為一次函數(shù)，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí)，治療有效．
（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）設(shè)某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，試分別計(jì)算出第二次、第三次服藥的時(shí)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象分段設(shè)出一次函數(shù)模型，分別代入點(diǎn)（4，320）和（20，0）求解函數(shù)解析式，
（Ⅱ）設(shè)x為第一次服藥后經(jīng)過的時(shí)間，由第一次服藥的殘留量大于等于240求解x的范圍，同樣由第二次服藥的殘留量大于等于240求解第二次的藥效時(shí)間，再由前兩次的服藥殘留量大于240求解第三次的服藥時(shí)間．

解答：解：（I）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由圖象可得y=a（x-4）²+320，當(dāng)x=0時(shí)，y=0代入得a•16+320=0，∴a=-20．
∴y=-20（x-4）²+320，
當(dāng)4≤x≤20時(shí)，設(shè)y=kx+b，將（4，320），（20，0）代入得y=400-20x．
綜上得f(x)=

-20(x-4)2+320，0≤x≤4. 400-20x，4＜x≤20.

，
（II）設(shè)x為第一次服藥后經(jīng)過的時(shí)間，則第一次服藥的殘留量y1=f(x)=

-20(x-4)2+320，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

，
由y1≥240，得

0≤x≤4 -20(x-4)2+320≥240

或

4＜x≤20 400-20x≥240.

，
解得2≤x≤4或4＜x≤8，
∴2≤x≤8．
故第二次服藥應(yīng)在第一次服藥8小時(shí)后，即當(dāng)日16：00．
設(shè)第二次服藥產(chǎn)生的殘留量為y₂，則y2=f(x-8)=

-20(x-12)2+320，8≤x≤12 400-20(x-8)，12＜x≤28.

，
由y2≥240，得

8≤x≤12 -20(x-12)2+320≥240

或

12＜x≤28 400-20(x-8)≥240.

，
解得10≤x≤12或12＜x≤16，∴10≤x≤16，
若僅考慮第二次服藥的殘留量，第三次服藥應(yīng)在第一次服藥16小時(shí)后，面前兩次服藥的殘留量為y1+y2，由

x＞16 y1+y2≥240.

，
得

x＞16 400-20x+400-20(x-8)≥240，解得16＜x≤18.

故第三次服藥應(yīng)在第一次服藥18小時(shí)后，即次日凌晨2：00．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了分段函數(shù)涉及的不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解與把握，考查了計(jì)算能力．屬于中檔題．