分析 (1)依題意得橢圓的焦點坐標為(±4,0),利用P在橢圓上,求出a,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由(1)知A(-6,0),B(6,0),直線AP的方程為x-$\sqrt{3}y$+6=0,設點M(m,0),由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$,由此能求出當x=$\frac{9}{2}$時,d取得最小值.
解答 解:(1)依題意得橢圓的焦點坐標為(±4,0),
∵P在橢圓上,
∴2a=$\sqrt{(\frac{3}{2}-4)^{2}+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}$+$\sqrt{(\frac{3}{2}+4)^{2}+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}$=12
解得a=6,b2=20,
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1.
(2)由(1)知A(-6,0),B(6,0),
∴直線AP的方程為x-$\sqrt{3}$y+6=0,
設點M(m,0),由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$,
又-6≤m≤6,
∴m=2,∴$i0cwyaa^{2}=(x-2)^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-4x+4+20-\frac{5}{9}{x}^{2}=\frac{4}{9}(x-\frac{9}{2})^{2}+15$,
∴當x=$\frac{9}{2}$時,d取得最小值$\sqrt{15}$.
點評 本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓上的點到點M的距離d的最小值的求法,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.
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