Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{20}$=1，橢圓C以雙曲線的焦點為頂點、頂點為焦點，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，P（${\frac{3}{2}$，$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

分析 （1）依題意得橢圓的焦點坐標為（±4，0），利用P在橢圓上，求出a，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由（1）知A（-6，0），B（6，0），直線AP的方程為x-$\sqrt{3}y$+6=0，設點M（m，0），由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，由此能求出當x=$\frac{9}{2}$時，d取得最小值．

解答 解：（1）依題意得橢圓的焦點坐標為（±4，0），
∵P在橢圓上，
∴2a=$\sqrt{（\frac{3}{2}-4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{3}{2}+4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=12
解得a=6，b²=20，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
（2）由（1）知A（-6，0），B（6，0），
∴直線AP的方程為x-$\sqrt{3}$y+6=0，
設點M（m，0），由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，
又-6≤m≤6，
∴m=2，∴$i0cwyaa^{2}=（x-2）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-4x+4+20-\frac{5}{9}{x}^{2}=\frac{4}{9}（x-\frac{9}{2}）^{2}+15$，
∴當x=$\frac{9}{2}$時，d取得最小值$\sqrt{15}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上的點到點M的距離d的最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．