分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,得到函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理證出結(jié)論即可;
(2)構(gòu)造令h(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$,確定單調(diào)性,即可證明結(jié)論.
解答 證明:(1)F(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$,定義域是(0,+∞),
F′(x)=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$,
x>1時,F(xiàn)′(x)>0,∴F(x)在(1,2)遞增,
又F(1)=-$\frac{1}{e}$<0,F(xiàn)(2)=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$>0,
而F(x)在(1,+∞)上連續(xù),
根據(jù)零點存在定理可得:F(x)=0在區(qū)間(1,2)有且只有1個實根;
(2)令h(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$,定義域是(0,+∞),
h′(x)=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$,
0<x<1時,h′(x)<0,x>1時,h′(x)>0,∴h(x)在(0,1)上遞減,(1,+∞)遞增,
∴h(x)>h(1)=$\frac{1}{e}$>0,
∴對?x∈(0,+∞),xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查函數(shù)的零點存在定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的證明,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-4] | B. | [4,+∞) | C. | (-∞,-4]∪[4,+∞) | D. | (-∞,-4)∪(4,+∞) |
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A. | x+y-4=0 | B. | x-y=0 | C. | 2x-y-2=0 | D. | 2x+y-6=0 |
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