17.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$.
(1)記F(x)=f(x)-g(x),證明:F(x)在(1,2)區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實根;
(2)證明:對?x∈(0,+∞),xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,得到函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理證出結(jié)論即可;
(2)構(gòu)造令h(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$,確定單調(diào)性,即可證明結(jié)論.

解答 證明:(1)F(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$,定義域是(0,+∞),
F′(x)=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$,
x>1時,F(xiàn)′(x)>0,∴F(x)在(1,2)遞增,
又F(1)=-$\frac{1}{e}$<0,F(xiàn)(2)=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$>0,
而F(x)在(1,+∞)上連續(xù),
根據(jù)零點存在定理可得:F(x)=0在區(qū)間(1,2)有且只有1個實根;
(2)令h(x)=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$,定義域是(0,+∞),
h′(x)=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$,
0<x<1時,h′(x)<0,x>1時,h′(x)>0,∴h(x)在(0,1)上遞減,(1,+∞)遞增,
∴h(x)>h(1)=$\frac{1}{e}$>0,
∴對?x∈(0,+∞),xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查函數(shù)的零點存在定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的證明,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3S4+12=0,則該數(shù)列的公差d的取值范圍是( 。
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12.若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點P處“切過”曲線C,下列命題正確的是③④(寫出所有正確命題的編號).
①直線l:y=x+1在點P(0,1)處“切過”曲線C:y=ex
②直線l:y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C:y=lnx
③直線l:y=-x+π在點P(π,0)處“切過”曲線C:y=sinx
④直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3

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2.已知動圓過定點R(0,2),且在x軸上截得的線段MN的長為4,直線l:y=kx+t(t>0)交y軸于點Q.
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6.已知雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{20}$=1,橢圓C以雙曲線的焦點為頂點、頂點為焦點,橢圓C的左、右頂點分別為A,B,P(${\frac{3}{2}$,$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}}$)
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

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7.已知x可以在區(qū)間[-t,4t](t>0)上任意取值,則x∈[-$\frac{1}{2}$t,t]的概率是$\frac{3}{10}$.

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