Question

5．在多面體ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4，BC=2，CD=4，BE=1．
（1）求證：平面ADC⊥平面BCDE；
（2）試問在線段DE上是否存在點(diǎn)S，使得AS與平面ADC所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$？若存在，確定S的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用線面垂直得到線線垂直，進(jìn)一步得到線面垂直，最后利用面面垂直的判定定理求出結(jié)果．
（2）首先假設(shè)點(diǎn)S存在，進(jìn)一步求出線面的夾角，進(jìn)一步利用解直角三角形知識(shí)求出關(guān)于線面夾角的余弦值，最后求出點(diǎn)S存在．

解答 證明：（1）在多面體ABCDE中，CD⊥平面ABC，
所以：CD⊥AC，
在△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4，BC=2，
所以：AB²=AC²+BC²
則：△ABC是直角三角形．
所以：AC⊥BC．
則：AC⊥平面CBED．
AC?平面ACD，
所以：平面ADC⊥平面BCDE．
（2）假設(shè)在線段DE上存在點(diǎn)S，使得AS與平面ADC所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
所以：過點(diǎn)S做GS⊥CD于點(diǎn)G，過E作EF∥BC交CD于點(diǎn)H，
設(shè)GD=x，
所以：DH=3，
由于GS∥HE，
則：$\frac{GD}{DH}=\frac{GS}{HE}$，
解得：GS=$\frac{2}{3}x$，
在△ACG中，利用勾股定理：AG=$\sqrt{{4}^{2}+（4-{x）}^{2}}$，
在Rt△AGS中，進(jìn)一步利用勾股定理：AS=$\sqrt{（\frac{2x}{3}）^{2}+{4}^{2}+（4-{x）}^{2}}$
則：cos∠GAS=$\frac{AG}{AS}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{（4-x）}^{2}}}{\sqrt{{（\frac{2x}{3}）}^{2}+{4}^{2}+{（4-x）}^{2}}}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$，
整理得：x²+2x-8=0，
解得：x=2，
所以：S在$DS=\frac{2}{3}DE$處，使得AS與平面ADC所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，線面夾角的應(yīng)用，存在性問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力．